คณิตศาสตร์ก็มี Grand Unified Theory กับเขานะ

หัวข้อและปัญหาที่นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกให้ความสนใจและค้นหาคำตอบในปัจจุบันนี้ มีมากมายเต็มไปหมดจนไม่สามารถกล่าวได้ภายในหนึ่งหน้ากระดาษ แต่ความลับของ “ทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง (Theory of everything)” เป็นสิ่งที่ผู้คนให้ความสนใจเป็นอย่างมาก มันจะมีสมการหรือตัวแบบใดที่จะมาอธิบายทุก ๆ ปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นในเอกภพ เชื่อมโยงทุกสิ่งและสามารถคาดการณ์อนาคตได้อย่างแม่นยำราวกับจับวางเท่ากับทฤษฎีนี้ ซึ่งระบบประเภทนี้เราเรียกว่า “Deterministic system” หมายความว่าสิ่งเราคิดหรือกระทำลงไป จะมีผลที่ชัดเจนในภายภาคหน้า “ทำดีต้องได้ดี ทำชั่วต้องได้ชั่ว” อะไรทำนองนี้กระมัง

หนึ่งในทฤษฎีที่คาดการณ์ว่าจะนำไปต่อยอดกลายเป็นทฤษฎีแห่งสรรพสิ่งที่ถูกพูดถึงคู่กันคงหนีไม่พ้น “ทฤษฎีการรวมแรงครั้งยิ่งใหญ่ (Grand Unified Theory หรือ GUT)” ในทางฟิสิกส์ที่ศึกษาเรื่อง “อันตรกิริยาขั้นพื้นฐาน (Fundamental Interaction)” การรวมแรงครั้งยิ่งใหญ่จะรวมกันเฉพาะแรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน และแรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม โดยหากอยู่ภายใต้ระดับพลังงานที่สูงดั่งตอนกำเนิดจักรวาลตามทฤษฎีบิ๊กแบง แรงทั้งสามจะสามารถควบรวมกันกลายเป็นแรงเพียงแรงเดียว! เหลือเพียง “แรงโน้มถ่วง” ที่ยังไม่ได้ถูกรวมเข้ามา เพราะภารกิจนี้ช่างใหญ่หลวงยิ่งนัก หากรวมได้อาจจะกลายเป็นตัวแบบที่เราตามหามานานแสนนานอย่างทฤษฎีแห่งสรรพสิ่งนั่นเอง

ทางตัวนักเขียนเองจบคณิตศาสตร์มา คงอาจอธิบายได้ดีไม่เท่าคนจบทางด้านนี้ แต่ที่อยากจะนำเสนอ GUT ตอนต้นเรื่องก็เพราะว่า “คณิตศาสตร์เองก็มีทฤษฎีการรวมศาสตร์อะไรแบบนี้เหมือนกันนะ” โดยในปี ค.ศ. 1967 นักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดานามว่า “โรเบิร์ต แลงแลนดส์ (Robert Langlands)” ได้นำสองศาสตร์ที่ดูแล้วไม่น่าเข้ากันให้เข้ามารวมอยู่ด้วยกันได้ และเรียกทฤษฎีบทนี้ว่า “โปรแกรมแลงแลนดส์ (Langlands program)” ซึ่งสองศาสตร์ที่ว่านั้น ศาสตร์แรกเปรียบเสมือนแขนขาของคณิตศาสตร์อย่าง “ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)” ที่ศึกษาเกี่ยวกับสมบัติของจำนวนเต็ม ส่วนอีกศาสตร์คือ “Harmonic analysis” ซึ่งเป็นศาสตร์ที่พยายามแบ่งแยกความซับซ้อนของสัญญาณคลื่นให้กลายเป็นฟังก์ชันในรูปที่ง่ายขึ้น อารมณ์คล้ายหลักการของ “อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series)” แต่เป็นแนวคิดที่ขยายขึ้นมาให้ประยุกต์ใช้กับศาสตร์อื่น ๆ ได้ด้วย

แรงบันดาลใจของแลงแลนดส์ต่อทฤษฎีนี้มาจาก “ทฤษฎีกาลัว (Galois Theory)” จากหนุ่มน้อยในห้วงศตวรรษที่ 19 อย่าง “เอวาริสต์ กาลัว (Évariste Galois)” อัจฉริยะชาวฝรั่งเศสที่มีชีวิตบนโลกเพียงแค่ 20 ปี แต่ทิ้งทฤษฎีพลิกวงการไว้อย่างมากมาย (ไม่อยากนึกว่าถ้าเขามีชีวิตเลยวัยเกษียณ แม่คุณเอ๊ย!) โดยทฤษฎีกาลัวเป็นการเชื่อมโยงกันระหว่างพีชคณิต (Algebra) สำหรับการหาคำตอบของสมการพหุนามกับศาสตร์การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) เพื่อสกัดความสัมพันธ์บางอย่างออกมา จนนำไปสู่บทสรุปที่ว่า “ไม่มีสูตรสำเร็จหรือสมการลัด สำหรับการหาคำตอบของสมการพหุนามกำลังห้าขึ้นไป” ปัจจุบันทฤษฎีนี้ได้ต่อยอดเป็นศาสตร์ที่ตัวผู้เขียนเองมึน ๆ งง ๆ ตอนเป็นนักศึกษาอย่าง “พีชคณิตนามธรรม (Abstract algebra)”  ผิดกับตัวแลงแลนดส์ที่ประทับใจในสิ่งเหล่านี้ กลั่นความรู้จนเป็นโปรแกรมแลงแลนดส์ขึ้น

โปรแกรมแลงแลนดส์ถูกยกย่องให้เป็น “Rosetta Stone of Mathematics” ซึ่งความเป็นมาของหินโรเซตต้า (Rosetta stone) ถูกค้นพบเมื่อปี ค.ศ. 1799 ที่ประเทศอียิปต์ จนกระทั่งฌอง-ฟรองซัว ช็องโปลิยง (Jean-François Champollion) นักภาษาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเป็นบุคคลแรกที่สามารถแกะอักษรภาพอียิปต์ได้ โดยแผ่นหินโรเซตต้าเปรียบเหมือนคู่มือในการอ่านพวกมัน (สมัยก่อนไม่มีใครอ่านออก ถือว่าเป็นปัญหาโลกแตกของนักโบราณคดีเลย) ดังนั้นการเปรียบโปรแกรมแลงแลนดส์เป็นหินโรเซตต้า หมายความว่ามันจะเป็นเครื่องมือแปลภาษาคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงจากศาสตร์แขนงหนึ่งไปยังอีกแขนงที่แตกต่างกันได้ มันอาจจะเป็นประตูสำหรับการเข้าใจคณิตศาสตร์ให้ดีมากยิ่งขึ้นอย่างนั้นหรือ?

ตอนนี้การควบรวมศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันเป็นสิ่งที่ท้าทาย นักคณิตชาวยูเครนอย่างวลาดิเมียร์ ดรินเฟลด์ (Vladimir Drinfeld) ได้ลองรวมศาสตร์ harmonic analysis เข้ากับเรขาคณิต ผลงานนี้ทำให้เขาได้รางวัลเหรียญฟิลด์ (Fields Medal) ในปี ค.ศ. 1990 ส่วนตัวแลงแลนดส์เองก็ไม่น้อยหน้า กวาดรางวัลใหญ่อย่างรางวัลอาเบล (Abel Prize) เทียบได้กับ “รางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์” ในปี ค.ศ. 2018 ไม่นานมานี้เอง และได้รางวัลอันทรงเกียรติอย่างรางวัลวูลฟ์ (Wolf Prize) ประจำปี ค.ศ. 1995–96 ที่มอบโดย Wolf Foundation ประเทศอิสราเอล และรับพร้อมกันกับแอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตผู้แก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อันโด่งดัง ซึ่งบังเอิญว่าโลกกลมไปนิด เพราะการพิสูจน์ทฤษฎีดังกล่าวของไวลส์ ก็ใช้ทฤษฎีของแลงแลนดส์มาช่วยแก้ปัญหาอีกด้วย และชิงตัดหน้าแลงแลนดส์คว้ารางวัลอาเบลในปี ค.ศ. 2016

เราเองก็ไม่รู้เช่นกันว่าคณิตศาสตร์ในอนาคตจะมีหน้าตาเป็นอย่างไร การได้พบเครื่องมือใหม่ ๆ เหมือนการค้นพบกุญแจที่จะสามารถช่วยแก้คำตอบบางอย่างที่เราไม่สามารถตอบมันได้ในขณะนี้ นี่คือหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่จะประกอบบทนิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ เป็นกุญแจดอกใหม่ที่จะไขคำตอบให้กระจ่างแจ้งและชัดเจนเพิ่มขึ้น เป็นภารกิจท้าทายที่นักคณิตศาสตร์น้อยคนจะทำได้บนโลกนี้ ไม่แน่ว่าคณิตศาสตร์เราจะชิงพบ “Theory of Everything” ก่อนสาขาฟิสิกส์ก็ได้ ผู้เขียนคงอาจจะฝันเฟื่องหนักไปหน่อย เป็นไปได้ยาก แต่ใช่ว่าจะเกิดขึ้นไม่ได้นะ…

อ้างอิง

หนังสือ The Maths Book: Big Idea Simply Explained

Science Encyclopedia | Grand Unified Theory

Nature | ‘Grand unified theory of maths’ nets Abel Prize

History | What Is the Rosetta Stone?

Wikipedia | Wolf Prize in Mathematics

The Star | The Canadian Who Reinvented Mathematics