Hilight
- ทฤษฎีบทของพีทากอรัส (Pythagoras’s theorem) อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก
- ฮิปปาซุส (Hippasus) เสนอว่า หากด้านประกอบมุมฉากทั้งสองยาว 1 หน่วย จะทำให้ด้านตรงข้ามมุมฉากไม่สามารถทำในรูปของจำนวนตรรกยะได้ จึงเกิดแนวคิดจำนวนอตรรกยะ (Irrational numbers)
- ปิแอร์ เดอ เฟอร์มา (Pierre de Fermat) เสนอทฤษฎีบทสุดท้ายในงานเขียนว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก a, b, และ c ใดที่ทำให้ เลขยกกำลัง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 ได้
หลายคนที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินสูตรที่ใช้ในการหาความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก a2 + b2 = c2 รู้จักกันในนาม ทฤษฎีบทของพีทากอรัส (Pythagoras’s theorem) ที่สร้างสามสิ่งอันดับของพีทากอรัส (Pythagorean triples) ซึ่งเป็นชุดตัวเลขของความยาวด้านทั้งสามที่เป็นคำตอบของสมการ
ซึ่งเราพบว่าชาวบาบิโลนเมื่อ 1800 ปีก่อนคริสตกาลมีการจดบันทึกเลขสามชุดนี้ในแผ่นดินเหนียว พลิมตัน หมายเลข 322 (Plimpton 322) พีทากอรัสได้พัฒนาหลักการในการคำนวณและพิสูจน์ แต่ใครจะรู้ว่าที่มาของสูตรและการต่อยอดมีความน่าสนใจขนาดไหน ทั้งเรื่องราวและคณิตศาสตร์ในสมการนี้
ก่อนที่จะพูดถึงสมการก็ต้องพูดผู้เสนอสมการอย่าง พีทากอรัส (Pythagoras) นักปรัชญาแห่งเกาะซามอส (Samos) งานเขียนของพีทากอรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักคิดยุคหลังไม่ว่าจะเป็น เพลโต (Plato), นิโคลัส โคเปอร์นิคัส (Niclolas Copernicus), โยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) หรือแม้กระทั่ง ไอแซก นิวตัน (Isaac Newton)
พีทากอรัสใช้เวลาในการเดินทางศึกษาศาสตร์ต่าง ๆ ในอียิปต์จนถึงตะวันออกกลาง ก่อนที่สุดท้ายจะมาก่อตั้งสถาบันของตนเองบนเกาะโครตอน (Croton) ทางตะวันตกของอิตาลี โดยมีสาวกร่วมกว่า 600 คน สาวกมีเป้าหมายในการศึกษาความรู้ มีกฎเกณฑ์การแต่งตัวและวิถีชีวิตอนึ่งเป็นลัทธิ คำสอนทุกอย่างจะเป็นความลับและห้ามเผยแพร่สู่สาธารณะชน
เชื่อกันว่าเมื่อพีทากอรัสอายุได้ 60 ปี เขาได้แต่งงงานกับเด็กสาวในลัทธิชื่อว่า เธียโน (Theano) และอาจจะมีลูกด้วยกัน 2-3 คน สุดท้ายด้วยปัญหาทางการเมือง ทำให้ลัทธิของพีทากอรัสถูกต่อต้านและถูกทำลายหลังจากเขาเสียชีวิตในปี 495 ก่อนคริสตกาล
พีทากอรัสเป็นคนแรก ๆ ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของพีทากอรัส (Pythagoras’s theorem) สมการนี้คือ
a2 + b2 = c2
โดย a และ b เป็นด้านประกอบมุมฉาก
c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
เช่น สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีความยาวด้านประกอบมุมฉากเป็น 3 cm และ 4 cm
เราสามารถหาความยาวด้านที่ยาวที่สุด คือด้านประกอบมุมฉากมีค่า 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
ชุดตัวเลขสามตัวนี้ถูกเรียกว่า สามสิ่งอันดับของพีทากอรัส (Pythagorean triples) โดยชุด 3, 4, 5 เรียกพิเศษว่า สามสิ่งอันดับปฐมภูมิ (Primitive triples) เพราะทั้งชุดเป็นจำนวนเฉพาะ ที่เลขแต่ละตัวจะหารลงตัวได้ด้วย 1 เท่านั้น
แม้ในอดีตเรามีหลักฐานว่ามีการพบวิธีการเดียวกันนี้จากอารยธรรมในบาบิโลนและจีน แต่คนที่อธิบายในรูปแบบที่เป็นคณิตศาสตร์ก็ต้องยกเครดิตให้พีทากอรัส
ในช่วงที่พีทากอรัสเดินทางไปที่ต่าง ๆ เพื่อหาความรู้ สถานที่บ่มเพาะสำคัญในเรื่องแนวคิดทางปรัชญาของเขาคือ สำนักคิดไมลีเชียน (Milesian school) ของธาลีส (Thales of Miletus) พีทากอรัสได้ร่ำเรียนจาก อเน็กซิมันเดอร์ (Anaximander)
พีทากอรัสในวัย 20 ปี เดินทางรอบทะเลเมดิเตอร์เรเนียน ไม่ว่าจะเป็นเมืองฟีนิเชีย, เปอร์เชีย, บาบิโลน และอียิปต์ เชื่อกันว่าเขาไปไกลถึงอินเดีย
ชาวอียิปต์ใช้เลขสามชุดนี้ในการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากในการวัดที่นา พีทากอรัสจึงนำเลขทั้งสามมาทำเป็นทฤษฎีบท (Pythagorean theorem) โดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์
โดยหากดูภาพด้านบน จะพบว่าเราสามารถหาของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม C ได้จากผลต่างของพื้นที่ รวมที่นาด้านยาว a + b กับพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีฐานยาว a และความสูง b ทั้งสี่รูปนั่นเอง เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้แบบง่าย ๆ
แนวคิดของพีทากอรัสและสาวกเกี่ยวกับตัวเลขและคณิตศาสตร์ที่มากกว่าแค่แนวคิด คือความงดงามและศักดิ์สิทธิ์ พวกพีทากอรัสศรัทธาในจำนวนตรรกยะ (Rational numbers) คือจำนวนที่สามารถเขียนเป็นรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ และตัวเลขเป็นที่ควบคุมจักรวาล
ตำนานเล่าว่าความศรัทธานี้ถูกทำให้สั่นคลอนโดยสาวกที่ชื่อว่า ฮิปปาซุส (Hippasus) โดยเขาเสนอว่า หากด้านประกอบมุมฉากทั้งสองยาว 1 หน่วย จะทำให้ด้านตรงข้ามมุมฉากมีความ
ยาว ซึ่งไม่สามารถทำในรูปของจำนวนตรรกยะที่สาวกพีทากอรัสเชื่อ เราเรียกจำนวนนี้ว่า จำนวนอตรรกยะ (Irrational numbers)
หลังจากนั้นหลายพันปี ปิแอร์ เดอ เฟอร์มา (Pierre de Fermat) เสนอทฤษฎีบทสุดท้ายในงานเขียนคัดบอกจากงานของ ไดโอเฟนตัสแห่งอะเล็กซานเดรีย (Diophantus of Alexandria) ที่เกี่ยวกับเลขสามชุดนี้ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก a, b, และ c ใดที่ทำให้ เลขยกกำลัง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 ได้
โดยปัญหานี้ท้าทายนักคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ จนในปี 1993 แอนดริว ไวลส์ (Andrew Wiles) ได้เสนอข้อพิสูจน์โดยใช้ ข้อคาดเดาของชิมูระ-ทานิยามะ-วีล (Shimura-Taniyama-Weil conjecture) แต่ยังพบข้อบกพร่อง
สุดท้ายข้อพิสูจน์ได้รับการปรับปรุงโดย ริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) และเสร็จสิ้นในปี 1995 ถือเป็นการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษได้สำเร็จ
